Информация

Докладчик

Цели

• Изучить основы языков программирования Julia и OpenModelica. Освоить библиотеки этих языков, которые используются для построения графиков и решения дифференциальных уравнений. Решить задачу о погоне.

Вводная часть

Справка о языках программирования:

Julia — высокоуровневый высокопроизводительный свободный язык программирования с динамической типизацией, созданный для математических вычислений. Эффективен также и для написания программ общего назначения. Синтаксис языка схож с синтаксисом других математических языков (например, MATLAB и Octave), однако имеет некоторые существенные отличия. Julia написан на Си, C++ и Scheme. Имеет встроенную поддержку многопоточности и распределённых вычислений, реализованные в том числе в стандартных конструкциях.

Вводная часть

OpenModelica — свободное открытое программное обеспечение для моделирования, симуляции, оптимизации и анализа сложных динамических систем. Основано на языке Modelica. Активно развивается Open Source Modelica Consortium, некоммерческой неправительственной организацией. Open Source Modelica Consortium является совместным проектом RISE SICS East AB и Линчёпингского университета. По своим возможностям приближается к таким вычислительным средам как Matlab Simulink, Scilab xCos, имея при этом значительно более удобное представление системы уравнений исследуемого блока.

Задание

На море в тумане катер береговой охраны преследует лодку браконьеров. Через определенный промежуток времени туман рассеивается, и лодка обнаруживается на расстоянии 11,5 км от катера. Затем лодка снова скрывается в тумане и уходит прямолинейно в неизвестном направлении. Известно, что скорость катера в 3,5 раза больше скорости браконьерской лодки.

Задачи:

1. Записать уравнение, описывающее движение катера, с начальными условиями для двух случаев (в зависимости от расположения катера относительно лодки в начальный момент времени).
2. Построить траекторию движения катера и лодки для двух случаев.
3. Найти точку пересечения траектории катера и лодки

Выполнение лабораторной работы

Математическая модель

1. Примем за момент отсчета времени момент первого рассеивания тумана. Введем полярные координаты с центром в точке нахождения браконьеров и осью, проходящей через катер береговой охраны. Тогда начальные координаты катера (11,5; 0). Обозначим скорость лодки v.

Математическая модель

2. Траектория катера должна быть такой, чтобы и катер, и лодка все время были на одном расстоянии от полюса. Только в этом случае траектория катера пересечется с траекторией лодки. Поэтому для начала катер береговой охраны должен двигаться некоторое время прямолинейно, пока не окажется на том же расстоянии от полюса, что и лодка браконьеров. После этого катер береговой охраны должен двигаться вокруг полюса удаляясь от него с той же скоростью, что и лодка браконьеров.

Математическая модель

3. Чтобы найти расстояние x (расстояние после которого катер начнет двигаться вокруг полюса), необходимо составить следующие уравнение. Пусть через время t катер и лодка окажутся на одном расстоянии x от полюса. За это время лодка пройдет x, а катер 11, 5 + x (или 11, 5 − x, в зависимости от начального положения катера относительно полюса). Время, за которое они пройдут это расстояние, вычисляется как $x\over v$ или ${11,5 - x}\over{3,5v}$ (${11,5 + x}\over{3,5v}$). Так как время должно быть одинаковым, эти величины тоже будут друг другу равны. Из этого получаем объединение из двух уравнений (двух из-за двух разных изначальных позиций катера относительно полюса):

Математическая модель

$$ \left[ \begin{array}{cl} {{x}\over{v}} = {{11,5 - x}\over{3,5v}}\\ {{x}\over{v}} = {{11,5 + x}\over{3,5v}} \end{array} \right. $$

Математическая модель

Из данных уравнений можно найти расстояние, после которого катер начнёт раскручиваться по спирали. Для данных уравнений решения будут следующими: $x_1 = {{115}\over{45}}$, $x_2 = {{115}\over{25}}$. Задачу будем решать для двух случаев. После того, как катер береговой охраны окажется на одном расстоянии от полюса, что и лодка, он должен сменить прямолинейную траекторию и начать двигаться вокруг полюса удаляясь от него со скоростью лодки v. Для этого скорость катера раскладываем на две составляющие: $v_r = {dr\over dt} = v$ - радиальная скорость и $v_\tau = r{d\theta\over dt}$ - тангенциальная скорость.

$$ v_\tau = {{\sqrt{11,25}v}} $$

Математическая модель

4. Решение исходной задачи сводится к решению системы из двух дифференциальных уравнений:

$$ \left\{ \begin{array}{cl} {dr\over dt} = v \\ r{d\theta\over dt} = {{\sqrt{11,25}v}} \end{array} \right. $$

Математическая модель

с начальными условиями

$$ \left\{ \begin{array}{cl} \theta_0 = 0 \\ r_0 = x_1 = {{115}\over{45}} \end{array} \right. $$

Математическая модель

или

$$ \left\{ \begin{array}{cl} \theta_0 = -\pi \\ r_0 = x_2 = {{115}\over{25}} \end{array} \right. $$

Математическая модель

Исключая из полученной системы производную по t, можно перейти к следующему уравнению (с неизменными начальными условиями):

$$ {dr\over d\theta} = {r\over\sqrt{11,25}} $$

Решением этого уравнения с заданными начальными условиями и будет являться траектория движения катера в полярных координатах. [3]

Решение с помощью программ

OpenModelica

К сожалению, OpenModelica не адаптирована к использованию полярных координат, поэтому адекватное отображение результатов данный задачи там невозможно. [2]

Julia

Julia

Решить дифференциальное уравнение, расписанное в постановке задачи лабораторной работы, поможет библиотека DifferentialEquations. Итоговые изображения в полярных координатах будут строиться через библиотеку Plots. [1]

Julia

1. Для начала установим Julia.

Julia

2. Запустим Julia в командной строке.

Julia

3. Создаем новый файл с расширением jl.

Julia

4. Пишем программу для решения задач.

using Plots
using DifferentialEquations

#Начальные условия
const a = 11.5
const n = 3.5

#r0 для двух случаев
const r0 = a/(n + 1)
const r0_2 = a/(n - 1)

Julia

#интервалы
const T = (0, 2*pi)
const T_2 = (-pi, pi)

function F(u, p, t)
    return u / sqrt(n*n - 1)
end

Julia

# Первый случай: ОДУ для r0 и T
equat = ODEProblem(F, r0, T)
result = solve(equat, abstol=1e-8, reltol=1e-8)


dxR = rand(1:size(result.t)[1])
rAngles = [result.t[dxR] for i in 1:size(result.t)[1]]

Julia

#xoлст1
plt = plot(proj=:polar, aspect_ratio=:equal, dpi = 1000, legend=true, bg=:white)

#параметры для холста
plot!(plt, xlabel="theta", ylabel="r(t)", title="Задача о погоне - случай 1", legend=:outerbottom)
plot!(plt, [rAngles[1], rAngles[2]], [0.0, result.u[size(result.u)[1]]], label="Путь лодки", color=:blue, lw=1)
scatter!(plt, rAngles, result.u, label="", mc=:blue, ms=0.0005)
plot!(plt, result.t, result.u, xlabel="theta", ylabel="r(t)", label="Путь катера", color=:green, lw=1)
scatter!(plt, result.t, result.u, label="", mc=:green, ms=0.0005)

savefig(plt, "lab02_01.png")

Julia

# Второй случай: ОДУ для r0_2 и T_2

equat = ODEProblem(F, r0_2 , T_2)
result = solve(equat, abstol=1e-8, reltol=1e-8)
dxR = rand(1:size(result.t)[1])
rAngles = [result.t[dxR] for i in 1:size(result.t)[1]]

#xoлст2
plt1 = plot(proj=:polar, aspect_ratio=:equal, dpi = 1000, legend=true, bg=:white)

Julia

#параметры для холста
plot!(plt1, xlabel="theta", ylabel="r(t)", title="Задача о погоне - случай 2", legend=:outerbottom)
plot!(plt1, [rAngles[1], rAngles[2]], [0.0, result.u[size(result.u)[1]]], label="Путь лодки", color=:blue, lw=1)
scatter!(plt1, rAngles, result.u, label="", mc=:blue, ms=0.0005)
plot!(plt1, result.t, result.u, xlabel="theta", ylabel="r(t)", label="Путь катера", color=:green, lw=1)
scatter!(plt1, result.t, result.u, label="", mc=:green, ms=0.0005)

savefig(plt1, "lab02_02.png")

Результат работы программы

В результате работы программы создаются две фотографии с траекториями движения катера и лодки для двух случаев.

Результат работы программы

Анализ полученных результатов

Мною были построены графики для обоих случаев. На них получилось отрисовать трактерию катера, траекторию лодки и получилось наглядно найти их точки пересечения. Мы успешно решили задачу о погоне.

Вывод

Были изучены основы языков программирования Julia и OpenModelica. Освоены библиотеки этих языков, которые используются для построения графиков и решения дифференциальных уравнений. Поскольку OpenModelica не работает с полярными координатами, она пока что не была использована в данной лабораторной работе.

Список литературы. Библиография

[1] Документация по Julia: https://docs.julialang.org/en/v1/

[2] Документация по OpenModelica: https://openmodelica.org/

[3] Решение дифференциальных уравнений: https://www.wolframalpha.com/